"Existe un número infinito de números primos"
Para demostrar este teorema Euclides utilizó un método que llamamos "reducción al absurdo". Consiste en suponer lo contrario de lo que queremos demostrar y ver que eso nos llevaría a una contradicción, a algo absurdo. En nuestro caso: supongamos que existe un número finito de números primos, es decir, que 2,3,5,7,11,...P fuese la serie completa de números primos (P sería el mayor). Consideremos entonces el número Q definido como:
Q=(2x3x5x...xP)+1
Entonces Q tendría que ser también un número primo, pero sería mayor que P, con lo cual contradecimos nuestra hipótesis, y llegamos a algo absurdo. Conclusión: nuestra hipótesis de partida es falsa, no existe un número finito de números primos.
He dejado una parte a propósito sin justificar, para que intentéis hacerlo vosotros: ¿por qué Q tendría que ser un número primo? Ánimo y a pensar, espero vuestras respuestas...
6 comentarios:
Yo lo seeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
yo lo seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
Porque por ejemplo, para que Q sea igual a un numero primo múltiplicado por "x" tendría que sumarle 1 para ser primo...
creo xD
No, Paco, la "x" no son incógnitas, son símbolos de multiplicar (no puse los puntos a los que estamos acostumbrados por si no se entendía...). Así que Q se obtiene multplicando todos los números primos que existirían, desde el primero hasta el último, y sumándole uno...¿por qué bajo la hipótesis señalada Q tendría que ser un número primo?
Venga, os echo un cable...Os recuerdo que un número primo es aquél que sólo puede divirse entre 1 y él mismo, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Lo contrario es un número compuesto.
Y os recuerdo que un número compuesto siempre se puede descomponer como producto de números primos (sí, eso que os suena tanto y que repetís sin saber lo que estáis diciendo...¡LA DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS!).
Por tanto, un número compuesto siempre ¡puede dividirse entre algún número primo! Si nuestro número Q no fuese primo, tendría que poder dividirse entre 2, 3, 5, ...o P, que sería el último de todos, ¿es esto posible con la definición que hemos dado de Q?
Ánimo, a ver si sale.
Dividirse "de forma exacta", por supuesto, con resto cero...por si no había quedado claro.
Bueno creo que lo se...? jijij
a ver, no es seguro, pero yo he hecho 2x3x5x7x11 y un puñado de números primos, y la solución siempre me sale un número NO primo, y al sumarle 1, ERA PRIMO!!!!!!!!
no se si eso pasará siempre pero a mi me ha salido
y cumple lo de que Q es mayor que el número P jeje (o almenos me lo parece)
Efectivamente, Paco, casi lo tienes...Eso que dices que pasa, ¡es cierto! pero la pregunta es: ¿por qué? ¿por qué ese número, al sumarle 1, se convierte en un número primo?
Para poder razonar a veces es útil empezar por casos particulares y, observando éstos, uno puede llegar a la generalización. Mira:
-Supongamos que todos los números primos existentes fuesen 2 y 3 (o lo que es lo mismo, el mayor número primo fuese 3)...entonces sería Q=2x3+1=7, pero Q no sería divisible entre 2 ni entre 3, por tanto, ¡sería primo y mayor que 3: contradicción!
-Supongamos que todos los números primos existentes fuesen 2, 3 y 5...entonces Q=2x3x5+1=31, que no es divisible ni entre 2, ni entre 3, ni entre 5...por tanto, ¡sería primo y mayor que 5: contradicción!
- Y así sucesivamente...
Sólo te falta razonar: ¿por qué estas divisiones de Q entre los primos anteriores no pueden salir exactas? Si descubres el motivo, tendrás el "derecho" a hacer la generalización para cualquier primo P que fuese el mayor (el derecho que te da la "lógica matemática", que yo creo que es la "lógica a secas", aunque esto podríamos discutirlo...)
Ánimo, cuando te des cuenta verás que es una idea fácil, muy fácil...¡ése es el encanto del razonamiento de Euclides: tan fácil de entender cuando se ha entendido y tan difícil de concebir por primera vez! Un pequeño "milagro", como me ha parecido siempre cualquier idea que contenga la palabra "infinito", ¿no crees?
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